Кратко сравню три подхода и покажу их применение к тетраэдрам (классический результат: при фиксированной сумме длин ребер максимум объёма даёт правильный тетраэдр).
1) Вариационные методы (метод множителей Лагранжа)
- Запись: объём тетраэдра через детерминант Кэли—Менгера:
288 V2=det⁡(0111110d122d132d1421d1220d232d2421d132d2320d3421d142d242d3420),288\,V^2=\det\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 0 & d_{12}^2 & d_{13}^2 & d_{14}^2\\
1 & d_{12}^2 & 0 & d_{23}^2 & d_{24}^2\\
1 & d_{13}^2 & d_{23}^2 & 0 & d_{34}^2\\
1 & d_{14}^2 & d_{24}^2 & d_{34}^2 & 0
\end{pmatrix},288V2=det 01111 10d122 d132 d142 1d122 0d232 d242 1d132 d232 0d342 1d142 d242 d342 0 , где $d_{ij}$ — длины шести рёбер, и ограничение ${\sum }_{i<j}{d}_{ij}=S$.
- Составляем функционал (можно работать с $V^2$ чтобы убрать корень):
$$\mathcal{L}(d_{ij},\lambda )=V^2(d_{ij})-\lambda (\sum _{i<j}{d}_{ij}-S).$$ - Необходимое условие экстремума: $\partial V^2/\partial d_{ij}=\lambda$ для всех рёбер. Поскольку выражение $V^2$ симметрично относительно перестановок вершин, система уравнений имеет симметричное решение $d_{ij}=s$ для всех пар, где $s=S/6$. При анализе вторых производных (матричная невозрастающая характеристика при разумных допущениях о допустимом множестве рёбер) получается, что это решение даёт максимум. Вывод: регулярный тетраэдр максимизирует объём.
2) Метод симметрии (аргумент усреднения / симметризации)
- Идея: если в оптимальной фигуре существуют два неравных ребра, можно провести операцию «усреднения» (заменить их парой равных с той же суммой). Покажем, что такая операция не уменьшает объём (в вариантах аргумента: перестановочная симметризация или усиление симметрии приводит к неубыванию функционала объёма).
- Для тетраэдра: если на оптимуме есть отличия между рёбрами, перестановка/усреднение по симметриям (перестановки меток вершин) даёт тетраэдр с большим или равным объёмом. Поэтому максимум достигается при полной симметрии, т.е. при $d_{ij}=S/6$.
- Преимущество: быстрый качественный вывод без громоздких вычислений. Недостаток: требует аргумента, что операция усреднения действительно не понижает объём — для этого иногда нужны дополнительные оценки или выпуклость функционала.
3) Прямое геометрическое разбиение / неравенства (непрямые оценки через площади и высоты)
- Разложение: объём тетраэдра можно выразить как сумма объёмов трёх параллелепипедных компонент или через базу и высоту: $V=\frac{1}{3}{A}_{\text{осн}}\cdot h$.
- Замечание: каждая грань — треугольник, её площадь при фиксированном периметре максимальна для равнобедренного/равностороннего треугольника (неравенство: для треугольника с периметром $p$ максимальная площадь $\le p^2/(12\sqrt{3})$, достигается при равностороннем).
- Так как сумма длин рёбер $S$ равна половине суммы периметров четырёх граней, суммарный периметр граней фиксирован. По неравенствам площади граней достигают максимума, когда все грани равносторонние с одинаковыми периметрами, что совместимо только с правильным тетраэдром. Из соотношений объёма через одну грань как основание и соответствующую высоту следует, что согласованная равносторонняя конфигурация даёт наибольший объём.
- Преимущество: геометрически наглядено и использует известные неравенства для треугольников. Минус: требуется согласованность граней — проверка реализуемости (что заданные периметры граней составляют тетраэдр) и связь площадей с объёмом дают менее прямое, чем вариационный подход, доказательство.
Демонстрация для тетраэдров, итоговый короткий доказательный набросок
- Формулировка: среди тетраэдров с ${\sum }_{i<j}{d}_{ij}=S$ объём максимален при $d_{ij}=s:=S/6$.
- Вариационный (коротко): из условия стационарности $\partial V^2/\partial d_{ij}=\lambda$ и симметрии выражения $V^2(d_{ij})$ следует $d_{ij}=s$. Второй вариант: показать что гессиан на допустимом множестве отрицательно определён в симметричной точке → максимум.
- Симметрия: усреднение любых двух рёбер с сохранением суммы не уменьшает $V$ → при последовательном усреднении получаем все рёбра равными.
- Геометрически: сумма периметров граней фиксирована, площади граней максимальны при равносторонних гранях; согласование четырёх равносторонних граней возможна только в правильном тетраэдре → максимум объёма также при правильном тетраэдре.
Заключение (коротко)
- Все три подхода ведут к одному выводу: при фиксированной сумме длин рёбер максимальный объём достигается правильным тетраэдром $d_{ij}=S/6$.
- Разница методов: вариационный даёт строгую вариационно-дифференциальную проверку (формальная, вычислительно тяжёлая), симметрия — быстрый качественный аргумент (менее аналитичен, но интуитивно сильный), разбиение/неравенства — даёт геометрическое понимание через максимизацию площадей граней и проверку реализуемости конфигурации.