Кратко о дополнительных сложностях при переносе планиметрических задач в гиперболическую (неевклидову) геометрию:
- Отсутствие евклидового пятого постулата: через точку, не лежащую на прямой, проходит бесконечно много параллельных — меняется поведение геодезий и параллельных прямых.
- Изменённая метрическая структура: длины и углы связаны через гиперболическую тригонометрию (закон косинусов с гиперболическими функциями), многие «алгебраические» евклидовы соотношения (Apollonius, Пифагор в обычном виде, подобие) перестают быть прямыми или меняют вид.
- Нет глобальной подобия: подобные (но не конгруэнтные) фигуры в общем случае отсутствуют — масштабирование не является изометрией. Значит многие задачи, решаемые в евклидовой геометрии через подобие, требуют иных приёмов.
- Типы окружностей и линий: кроме обычных кругов существуют хориполики (horocycles) и гиперциклы (equidistant curves); три точки могут определять окружность, хорициркль или гиперцикл в зависимости от их расположения относительно границы модели.
- Формальные конструкции сложнее: классические построения «линейкой и циркулем» требуют адаптации в модели (Пуанкаре, Беллтрами–Клейн), иногда удобнее работать в конкретной модели и переводить результат обратно.
- Зависимость геометрических величин от кривизны: многие формулы содержат $\sinh ,\cosh$ и прочие, что увеличивает вычислительную сложность; площади связаны с угловым дефектом.
Пример задачи с анализом
Задача. Пусть заданы три угла $\alpha ,\beta ,\gamma$ такие, что $\alpha +\beta +\gamma <\pi$. Построить (в гиперболической плоскости постоянной кривизны $-1$) треугольник с этими углами и найти его стороны и площадь.
Анализ и решение (кратко).
1) Существование и единственность. В гиперболической геометрии три угла с суммой меньше $\pi$ однозначно задают (с точностью до изометрии) треугольник. Условие $\alpha +\beta +\gamma <\pi$ необходимо и достаточно.
2) Выражения для длин сторон. Используем формулы гиперболической тригонометрии. Закон косинусов для сторон:
$$\cosh a=\cosh b\cosh c-\sinh b\sinh c\cos \alpha .$$ Из «закона косинусов для углов» получаем явное выражение для $\cosh a$:
$$\cos \alpha =-\cos \beta \cos \gamma +\sin \beta \sin \gamma \cosh a⟹\cosh a=\frac{\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }.$$ Аналогично:
$$\cosh b=\frac{\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha },\cosh c=\frac{\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }.$$ Эти формулы дают однозначно $a,b,c$ (через обратный $\mathrm{arcosh}$).
3) Площадь. Для гиперболической плоскости кривизны $-1$ площадь треугольника через угловый дефект:
$$\mathrm{Area}=\pi -(\alpha +\beta +\gamma ).$$ (Для кривизны $-K$ умножить на $1/K$.)
Краткие выводы по примеру:
- В отличие от евклидовой задачи «три угла — бесконечно много треугольников (подобные)», здесь три угла фиксируют треугольник однозначно — исчезает степень свободы масштабирования.
- Для вычислений нужно применять гиперболические формулы с $\cosh ,\sinh$ вместо полиномиальных соотношений; это даёт явные, но более сложные выражения.
- Практически удобнее работать в конкретной модели (Пуанкаре диск или верхняя полуплоскость), где построение и визуализация выполняются через соответствующие отображения и преобразования.