Формулировка. Пусть задан угол с боковыми прямыми $l_1,l_2$ и биссектрисой $b$. Отражение ${\sigma }_b$ относительно $b$ — изометрия плоскости. Тогда
1) любая окружность $S(O,r)=\{X:XO=r\}$ отображается в окружность $S(O^{\prime },r)$, где $O^{\prime }={\sigma }_b(O)$ (радиус сохраняется);
2) семейство окружностей, касающихся обеих боковых прямых (внутренне) — инвариантно: любая такая окружность имеет центр на $b$ и потому отображается в себя как множество;
3) окружности, касающиеся только $l_1$, переводятся в окружности, касающиеся только $l_2$;
4) сохраняются такие свойства, как касание, ортогональность, расстояния между центрами и мощность точек относительно окружностей.
Короткое доказательство.
- Отражение ${\sigma }_b$ является изометрией, значит для любых точек $X,Y$ выполнено ${\sigma }_b(X){\sigma }_b(Y)=XY$. Если $X\in S(O,r)$, то $XO=r$. Тогда для $X^{\prime }={\sigma }_b(X)$ и $O^{\prime }={\sigma }_b(O)$ имеем $X^{\prime }{O}^{\prime }=XO=r$, значит образ множества $S(O,r)$ есть окружность $S(O^{\prime },r)$. Отсюда пункт (1).
- Пусть окружность $S(O,r)$ касается прямых $l_1$ и $l_2$. Центр $O$ тогда равноудалён от $l_1$ и $l_2$, следовательно $O\in b$. Так как $b$ точка-фикс для ${\sigma }_b$, то $O^{\prime }={\sigma }_b(O)=O$, и образ окружности совпадает с ней как множеством: $S(O,r)$ инвариантна. Это даёт (2).
- Если $S(O,r)$ касается $l_1$ в точке $T$, то $T^{\prime }={\sigma }_b(T)$ лежит на $l_2$ и является точкой касания образа $S(O^{\prime },r)$ с $l_2$ (касание и порядок касания сохраняются при изометрии). Это даёт (3).
- Ортогональность двух окружностей $S(O_1,r_1)$ и $S(O_2,r_2)$ эквивалентна равенству $O_1{O}_2^2=r_1^2+r_2^2$. Под действием ${\sigma }_b$ левая и правая части сохраняются (изометрия сохраняет расстояния и радиусы), значит и ортогональность сохраняется. Аналогично сохраняются касательность и мощности точек — изометрия сохраняет расстояния до центров и поэтому все выражения, зависящие только от расстояний, инвариантны.
Примеры применений.
- Построение вписанной окружности угла: центр вписанной окружности лежит на биссектрисе $b$ (следствие пункта (2)), что даёт простой способ нахождения центра (пересечение биссектрис угла).
- Если дана окружность, касающаяся одной стороны угла, её образ при ${\sigma }_b$ — окружность, касающаяся другой стороны; перекрёстное использование этого факта упрощает задачи о двух касательных окружностях (строим образ и ищем пересечение образа с исходной и т.д.).
- Доказательство симметричных утверждений: при наличии симметрии относительно биссектрисы свойство для одной стороны автоматически переносится на другую (например, равенство радиусов двух окружностей, симметричных относительно $b$).
- В задачах Апполония и при построениях касательных окружностей отражение по биссектрисе часто сокращает число случаев: вместо поиска окружности, касающейся двух прямых и третьей фигуры, можно найти образ одной фигуры и решить более простую задачу о пересечении окружностей.
Заключение. Отражение относительно биссектрисы — частный случай изометрии; оно переводит окружности в окружности, сохраняет радиусы, касательность, ортогональность и делает семейство окружностей, касающихся обеих сторон угла, естественно инвариантным.