Решение и интуиция зависят от точной формулировки ограничения; рассмотрю типичный и наглядный вариант: область заданной площади $A$ должна лежать в полосе между двумя параллельными прямыми на расстоянии $d$ друг от друга (или, что эквивалентно, должна касаться обеих границ этой полосы). Цель — минимизировать периметр $P$.
Ключевые принципы:
- Внутренняя (свободная) часть оптимального контура имеет постоянную кривизну, т.е. это дуги окружности (вариационный принцип / уравнение Кюртцена — изопериметрическое условие).
- Там, где действует боковое ограничение (границы полосы), оптимальная область либо совпадает с границей полосы (прямая), либо не касается её. Прямая часть контура не вносит кривизну, но может уменьшить периметр при данном ограничении.
- Симметризация по срединной прямой полосы показывает, что оптимум можно искать среди симметричных относительно этой прямой выпуклых фигур.
Два случая.
1) Полоса достаточно широкая, чтобы в неё поместился оптимум без контакта с границами (обычный изопериметрический результат).
Если диаметр оптимального круга $2R$ не превышает ширины полосы, где $R=\sqrt{A/\pi }$, то оптимум — круг:
$2R\le d⟺A\le \pi d^2/4.$ Периметр:
$P_{\text{opt}}=2\pi R=2\sqrt{\pi A}.$
2) Полоса узкая: круг не помещается, оптимальная фигура касается обеих границ. Тогда оптимум имеет вид «стадиума» (прямоугольник высоты $d$ с полуокружностями по концам), то есть две полуокружности радиуса $r=d/2$, соединённые двумя параллельными отрезками длины $L$. Площадь и периметр:
$A=2rL+\pi r^2=dL+\pi (d/2{)}^2,$ откуда для заданного $A$ $L=\frac{A-\pi d^2/4}{d}$ (при $A>\pi d^2/4$).
Периметр:
$P=2L+2\pi r=2L+\pi d=\frac{2A}{d}+\frac{\pi d}{2}.$
Итого: оптимум — либо круг (если $A\le \pi d^2/4$), либо стадиум с $r=d/2$ и $L$ как выше (если $A>\pi d^2/4$), с периметрами
- $P=2\sqrt{\pi A}$ в первом случае,
- $P=\frac{2A}{d}+\frac{\pi d}{2}$ во втором.
Геометрическая интуиция: свободные части контура стремятся быть дугами окружности (поскольку постоянная кривизна минимизирует периметр при фиксированной «выпуклой» площади), а при активном боковом ограничении оптимум «приклеивается» к прямым границам полосы, используя прямые отрезки (они экономят кривизну), а концы соединяются полуокружностями радиуса, равного половине ширины полосы, чтобы обеспечить постоянную кривизну и гладкое соединение.
Аналогичный подход (вариационный анализ + симметризация) даёт структуру оптимального контура и для других видов ограничений: свободные части — дуги постоянной кривизны, в местах активных ограничений контур совпадает с границей ограничения.