Рассмотрим невырожденный симплекс $S\subset {\mathbb{R}}^n$ с вершинами $v_0,\dots ,v_n$ (аффинная независимость). Кратко сформулирую и докажу основные аналогии и отличия от планиметрии.
1) Центр масс (центроид, медианы)
- Определение: центроид $g$ — среднее вершин:
$$g=\frac{1}{n+1}\sum _{i=0}^n{v}_i.$$ - Свойство: все «медианы» (отрезки от вершины к центру масс противоположной грани) пересекаются в $g$.
Доказательство: центр противоположной грани к вершине $v_k$ равен $\frac{1}{n}{\sum }_{i\ne k}{v}_i$. Точка $g$ принадлежит отрезку $[v_k,\frac{1}{n}{\sum }_{i\ne k}{v}_i]$, поскольку
g=1n+1∑ivi=1n+1(vk+n⋅1n∑i≠kvi), g=\frac{1}{n+1}\sum_{i}v_i=\frac{1}{n+1}\left(v_k+n\cdot\frac{1}{n}\sum_{i\ne k}v_i\right),
g=n+11 i∑ vi =n+11 vk +n⋅n1 i=k∑ vi , т.е. $g$ — внутренняя точка этого отрезка. Это полностью аналогично случаю треугольника.
2) Описанная сфера (circumcenter)
- Существование и единственность: существует уникальное $c\in {\mathbb{R}}^n$ и радиус $R$ такие, что $\Vert c-v_i\Vert =R$ для всех $i$.
Доказательство: из равенств квадратов расстояний $\Vert c-v_i{\Vert }^2=\Vert c-v_0{\Vert }^2$ для $i=1,\dots ,n$ вычистка даёт линейную систему
$$2(v_i-v_0)\cdot c=\Vert v_i{\Vert }^2-\Vert v_0{\Vert }^2,i=1,\dots ,n.$$ Матрица коэффициентов имеет ранг $n$ (из-за аффинной независимости вершины), значит система имеет единственное решение $c$. (Как и в планиметрии.) Замечание: $c$ может лежать вне симплекса.
3) Вписанная сфера (incenter)
- Существование/единственность: существует единственный центр $i$ сферы, касающейся всех граней (insphere), и он лежит внутри симплекса.
- Барицентрическая формула: если $F_i$ — $(n-1)$-объём (площадь) грани, противоположной $v_i$, то барицентрические координаты инцентра пропорциональны $F_i$:
$$i=\frac{{\sum }_{i=0}^n{F}_i{v}_i}{{\sum }_{i=0}^n{F}_i}.$$ Краткое обоснование: для точки $x$ с барицентрами ${\lambda }_i\ge 0$, $\sum {\lambda }_i=1$, расстояние до грани $F_i$ пропорционально ${\lambda }_i$. Требование равенства расстояний ко всем граням даёт ${\lambda }_i\propto F_i$. Эквивалентно планарному факту, где веса пропорциональны сторонам.
4) Ортоцентры и высоты
- Определение высоты: высота из вершины $v_i$ — прямая через $v_i$, перпендикулярная аффинной оболочке противоположной грани.
- В отличие от плоскости, высоты n-симплекса не обязательно пересекаются в одной точке. Концепт ортосимплекса: симплекс называется ортосимплексом, если все высоты пересекаются в одной точке $h$ (ортoцентре).
- Характеризация (ключевое свойство): в ортосимплексе любые два непересекающихся ребра (т. е. ребра, не имеющие общей вершины) взаимно перпендикулярны. Для тетраэдра (n=3) это становится привычным условием «противоположные ребра перпендикулярны». Обратно, если все пары непересекающихся рёбер попарно перпендикулярны, то высоты пересекаются (получается ортoцентр).
Краткое пояснение идеи: условие пересечения высот сводится к решению системы линейных уравнений на точку $h$:
$$(h-v_i)\cdot (v_j-v_k)=0\text{для всех}i\text{и для всех}j,k\ne i,$$ и это эквивалентно набору ортогональностей между «дисъюнктными» направляющими ребер.
5) Связи типа «Эйлеровой прямой» и другие планиметрические факты
- Треугольник: центроид $G$, ортoцентр $H$, описанный центр $O$ лежат на одной прямой (Эйлерова) с соотношением $GH:GO=2:1$.
- В общем n-мерном случае такого универсального факта нет. Для произвольного симплекса $S$ точки $g,c$ и потенциальный ортoцентр не обязательно коллинеарны. Некоторые частные обобщения существуют для ортосимплексов или других специальных классов (например, для ортосимплекса существуют аналоги Эйлеровой прямой и соотношений между центрами), но в общем «треугольные» инцидентности не сохраняются.
- Итого: часть интуиций сохраняется (существование и линейное выражение центроида, уникальность описанной и вписанной сфер, барицентрические веса), часть ломается или требует дополнительных условий (сходимость высот, простые соотношения типа Эйлера, частые ортогональности).
6) Общая методика перехода на произвольную размерность
- Работают векторы и барицентрические координаты: многие доказательства сводятся к линейным и скалярным уравнениям (разность квадратов норм → линейная система для описанного центра; формулы объёмов → барицентрические веса для инцентра; векторные равенства для медиан).
- Геометрические понятия «угол», «перпендикулярность», «касание граней» естественно обобщаются на гиперплоскости и фасеты; именно через них сохраняются основные интуиции.
Краткий итог: сохраняются базовые конструкции (центроид, описанная/вписанная сферы, барицентрические представления), их свойства доказываются векторно/линейно; но многие «особые» свойства треугольника (всегда пересекающиеся высоты, универсальная Эйлерова прямая и т.п.) перестают быть общими и требуют специальных условий (ортосимплекс и др.).