Постановка. Пусть точка $A$ и величина угла $\alpha \in (0,\pi )$ при ней фиксированы; стороны треугольника от $A$ лежат на двух лучах, образующих угол $\alpha$. Обозначим $AB=r_1,AC=r_2$ и фиксированный периметр $p$. Тогда вершины $B$ и $C$ пробегают точки на этих лучах, удовлетворяющие уравнению периметра.
Уравнение и параметризация. Из условия периметра и теоремы косинусов получаем
$$p=r_1+r_2+BC=r_1+r_2+\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos \alpha },$$ или эквивалентно
$$(p-r_1-r_2{)}^2=r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos \alpha .$$ Отсюда можно явно выразить $r_2$ через $r_1$:
$$r_2=\frac{2p{r}_1-p^2}{2(r_1(1+\cos \alpha )-p)}.$$ Действительные положительные решения $r_1,r_2>0$ дают допустимые треугольники.
Геометрическое место точек. Для каждой вершины по отдельности (например, точки $B$) множество возможных положений — отрезок луча от $A$ с ограничением
$$0<AB=r_1<\frac{p}{2}.$$ (Предел $r_1\to p/2$ соответствует вырождению треугольника при $r_2\to 0$.) Аналогично для $C$: $0<AC=r_2<p/2$. Пара $(B,C)$ составляет одномерное семейство, заданное вышеуравнением; при фиксированном $r_1$ соответствующее $r_2$ однозначно определяется.
Возможные конфигурации. Непрерывный класс (один параметр) неравнобедренных треугольников и единственный симметричный (равнобедренный) случай $r_1=r_2$. Случаи вырождения: при $r_1\to 0$ или $r_2\to 0$ площадь стремится к нулю и треугольник вырождается.
Площадь и её экстремумы. Площадь выражается через боковые стороны от $A$:
$$S=\frac{1}{2}{r}_1{r}_2\sin \alpha .$$ Так как ограничение симметрично по $r_1$ и $r_2$, внутренняя экстремальная конфигурация достигается при $r_1=r_2$. Для равнобедренного случая
$$r_1=r_2=x,p=2x+2x\sin \frac{\alpha }{2}=2x(1+\sin \frac{\alpha }{2}),$$ откуда
$$x=\frac{p}{2(1+\sin \frac{\alpha }{2})}.$$ Максимальная площадь равна
$$S_{\max }=\frac{1}{2}{x}^2\sin \alpha =\frac{p^2\sin \alpha }{8(1+\sin \frac{\alpha }{2}{)}^2}=\frac{p^2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}{4(1+\sin \frac{\alpha }{2}{)}^2}.$$ Минимума (положительного) нет: инфимум площади равен $0$ (достигается при вырождении).
Кратко о частных случаях. При $\alpha \to 0$ семья вырождается вдоль почти совпадающих лучей; при $\alpha =\pi$ ситуация тривиальна (вырожденный «угол»). Для любого фиксированного $p>0$ и $\alpha \in (0,\pi )$ существует бесконечно много невырожденных треугольников, максимум площади единственен и равен приведённой формуле.