Формулировка (Морли). В любом невырожденном треугольнике ABC трёх угловые бисекции каждого угла на три равные части; возьмём по одной ближайшей к сторонам паре смежных трёхделителей в вершинах A и B, B и C, C и A и обозначим их попарные пересечения P (пересечение трёхделителей из A и B), Q (из B и C), R (из C и A). Тогда треугольник PQR равносторонний (все углы по $60^{\circ }$).
Доказательства и подходы (кратко, с ключевыми идеями).
1) Синтетическое (повороты / Конвей‑стиль, эталонная «красивая» доказательная идея).
- Обозначим углы треугольника $\angle A=\alpha ,\angle B=\beta ,\angle C=\gamma$, так что $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$.
- Пусть P — пересечение внутреннего трёхделителя из A, ближайшего к стороне AB, и соответствующего трёхделителя из B. Докажем, что $\angle QPR=60^{\circ }$ (аналогично для других вершин).
- Вокруг точки P рассмотрим вращение на угол $60^{\circ }$. Потому что трёхделители задают углы $\alpha /3$ и $\beta /3$ относительно сторон, смещение между соответствующими лучами, исходящими из A и B через P, равно
$$\frac{\alpha }{3}+\frac{\beta }{3}+\frac{\gamma }{3}=60^{\circ },$$ поэтому вращение на $60^{\circ }$ переводит один из смежных лучей в другой; это даёт симметрию, из которой следует, что соседние вершины треугольника PQR взаимно соответствуют при поворотах и следовательно все углы PQR равны $60^{\circ }$.
Комментарий: это доказательство минималистично и геометрически прозрачно, но требует аккуратного фикса аргументов о том, какие лучи и в каком порядке поворачиваются — хорошее для интуиции и «чувства» геометрии.
2) Тригонометрическое (аналитическое, стандартно-учебное).
- Пусть трёхделители из вершин пересекают противоположные стороны в точках (или продолжениях) — вводят удобные точки и применяют теорему синусов в соответствующих мелких треугольниках.
- Ключевой инструмент — тригонометрическая теорема Чевы или равенства из отношений синусов. Для соответствующих точек X,Y,Z получается соотношение типа
$$\frac{\sin (\alpha /3)}{\sin (2\alpha /3)}\cdot \frac{\sin (\beta /3)}{\sin (2\beta /3)}\cdot \frac{\sin (\gamma /3)}{\sin (2\gamma /3)}=1,$$ или эквивалентная ему тождественная формула. Из неё через алгебраические преобразования и использование $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$ следует, что угол в каждой вершине треугольника пересечений равен $60^{\circ }$.
- Это доказательство «машинно» проверяемо: нет геометрических трюков, только закон синусов и преобразования. Для студентов с курсом тригонометрии оно привычно и надёжно.
3) Алгебраическое / комплексное (коротко и «экономно»).
- Поместить треугольник в комплексную плоскость; вершины на единичной окружности: $a,b,c$ с аргументами, равными углам вершин. Лучи‑триcделители задаются делением аргументов на три, и уравнения прямых (или пересечений) вычисляются алгебраически.
- Показывают, что аргументы точек пересечений отличаются на $60^{\circ }$ или что отношения комплексных разностей имеют аргумент $\pm 60^{\circ }$, отсюда следует равенство углов треугольника PQR.
- Этот подход очень краток и строг, но требует навыков работы в комплексной плоскости (или матрицах/аффинных преобразований).
Сравнение по читаемости и пригодности для студентов.
- Синтетическое доказательство: красивое, наглядное, развивает геометрическую интуицию; однако в детали иногда нужно погружаться аккуратно (повороты, ориентировки лучей), и для студентов без крепкой плоской геометрии может показаться неочевидным.
- Тригонометрическое доказательство: более алгоритмическое, удобно для студентов, знающих теорему синусов и тригонометрические тождества; длиннее вычислительно, но формально прозрачно — хорош для курса «геометрия + тригонометрия».
- Алгебраическое/комплексное доказательство: самое короткое и «элегантное» при наличии инструмента; лучше для студентов с подготовкой в комплексном анализе или линейной алгебре; даёт компактность в ущерб визуальной интуиции.
Рекомендация по преподаванию: начать с тригонометрического доказательства (практично и доступно), затем показать синтетическую (повороты) как красивую иллюстрацию геометрической идеи, и затем — для желающих — алгебраическое доказательство как компактную альтернативу.
Литература и источники (коротко): оригинальные заметки и обзоры содержат множество вариантов; полезны конспекты с доказательствами Конвея, стандартные тригонометрические выкладки в учебниках дискретной/евклидовой геометрии и заметки по комплексной геометрии.