Для решения задачи нужно знать, что объем пирамиды можно найти по формуле:
V = (1/3) S h,
где S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Также известно, что боковое ребро пирамиды является радиусом вписанной окружности основания.

Для начала найдем площадь основания пирамиды, обозначим её за S. Так как основание пирамиды является четырехугольником и угол между диагоналями равен 90 градусам, то основание можно разбить на 4 прямоугольника. Один из таких прямоугольников можно рассмотреть как прямоугольный треугольник с катетами 10 см и r см (радиус вписанной окружности). Тогда гипотенуза этого треугольника будет d1 = 10 / cos(45°). Площадь четырех таких треугольников равна S/4 = (10*r)/2 = 5r.

После этого с помощью теоремы Пифагора находим радиус вписанной в четырехугольник окружности: r^2 + r^2 = d1^2. То есть r^2 + r^2 = (10 / cos(45°))^2. Отсюда находим r = (10 / 2) √2 = 5 √2.

Теперь можем найти S: S = 4 5r = 4 5 5 √2 = 100 * √2.

И, наконец, находим объем пирамиды:
V = (1/3) S h = (1/3) 100 √2 10 = 1000 √2 / 3.

Ответ: объем пирамиды равен 1000 * √2 / 3 кубических сантиметра.