Обозначим угол между диагоналями как α.

Из прямоугольного треугольника KLN найдем KP:
KP = KL sin(α) = 3 sin(α)

Из прямоугольного треугольника KMN найдем NQ:
NQ = KN sin(α) = 5 sin(α)

Также учитывая что KP ≥ LN и NQ ≥ KM, получаем:
3 sin(α) ≥ LN
5 sin(α) ≥ KM

Таким образом, 5 sin(α) ≥ KM. Неравенство 3 sin(α) ≥ LN приведем к виду, учитывая что KL=3:
3 sin(α) ≥ 3 cos(α)
sin(α) ≥ cos(α)

Так как sin(α) ≥ cos(α), то sin(α) = √(1 - cos^2(α)) = √(1 - (1 - sin^2(α))) = √sin^2(α) = |sin(α)|

Получаем: |sin(α)| ≥ cos(α)

Так как sin(α) не может быть отрицательным, имеем: sin(α) ≥ cos(α)

Из полученных неравенств:
5 * sin(α) ≥ KM
sin(α) ≥ cos(α)

Мы можем заключить, что KM = 5 sin(α) ≥ 5 cos(α)

Так как KN = 5, а KL = KN cos(α), то
5 cos(α) = KL

Итак, KM ≥ 5 * cos(α) = KL.

Так как KL=3, KM ≥ 3.
Таким образом, KM = 3.