Для начала найдем высоту треугольника MNP, проведя перпендикуляр к стороне MN из вершины P до точки K. Так как биссектриса угла M является высотой треугольника и проведенный перпендикуляр также является высотой, то треугольник MNP оказывается равнобедренным. Значит, высота также является медианой и делит сторону NP пополам, то есть NP = 2NK.

Так как NK = 9 см, то NP = 2NK = 2*9 = 18 см.

Получаем, что высота треугольника MNP равна 18 см.

Теперь рассмотрим треугольник MOK. Так как биссектриса угла М пересекает высоту NK в точке O, то треугольник MOK также является подобным треугольнику MNP. Значит, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны:
NK/OK = NP/MP.

Подставляем известные значения:
9/OK = 18/MP.

Из этого следует, что MP = 18 * OK / 9.

Так как OK = 9 см, то MP = 18 * 9 / 9 = 18 см.

Теперь рассмотрим треугольник MNP. Проведем высоту MH к стороне NP.

Так как треугольник MNP является остроугольным, точка H лежит на стороне NP между точками M и P. Значит, расстояние от точки O до прямой MN равно расстоянию от точки H до этой прямой.

Сначала найдем площадь треугольника MNP двумя способами:

S = (NP MH) / 2 = (18 MH) / 2 = 9 * MH.S = (MP NK) / 2 = (18 9) / 2 = 81.

Таким образом, 9 * MH = 81.

Отсюда получаем, что MH = 9.

Так как расстояние от точки O до прямой MN равно длине отрезка MH, то расстояние от точки О до прямой MN составляет 9 см.