Для начала найдем радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности в правильный треугольник равен отношению полупериметра треугольника к его площади. Полупериметр равен ( \frac{4\sqrt{3}+4\sqrt{3}+4\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} ). Площадь треугольника равна ( \frac{4\sqrt{3} \cdot 4}{2} = 8\sqrt{3} ). Тогда радиус вписанной окружности равен ( \frac{6\sqrt{3}}{8\sqrt{3}} = \frac{3}{4} ).

Теперь найдем сторону квадрата. Сторона квадрата равна двойному радиусу вписанной окружности. Следовательно, сторона квадрата равна ( 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2} ).

Итак, сторона квадрата равна ( \frac{3}{2} ).