а) Для нахождения промежутков возрастания и убывания производим первую производную функции:
f'(x) = 3x^2 - 6x

Производная равна 0 при x = 0 и x = 2.
Подставим значения x = -1, 1, 3 в производную функцию, чтобы определить знак производной:
f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 (производная положительна => функция возрастает)
f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 (производная отрицательна => функция убывает)
f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 (производная положительна => функция возрастает)

Таким образом, промежутки возрастания: (-inf; 0] и [2; +inf), промежутки убывания: [0; 2].

б) Для нахождения точек экстремумов приравниваем производную к 0 и находим значения x:
3x^2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
x = 0 и x = 2

Подставим значения x = 0 и x = 2 в исходную функцию для нахождения значений функции в точках экстремумов:
f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 0 + 0 + 4 = 4
f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0

Точка (0, 4) - точка минимума, точка (2, 0) - точка максимума.

в) Находим значения функции на промежутке [0; 4]:
f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4
f(4) = 4^3 - 3(4)^2 + 4 = 64 - 48 + 4 = 20

Наибольшее значение функции на промежутке [0; 4]: 20 (в точке x = 4)
Наименьшее значение функции на промежутке [0; 4]: 4 (в точке x = 0)