Поскольку в треугольнике MNK стороны MN и NK равны, то он равнобедренный и медиана AM также является биссектрисой угла MNK.

Так как AK : AN = 1 : 3 и N является точкой деления отрезка AK, то AN = 3/4 AK и KN = 1/4 AK. Также MK = 10 см.

Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ANK:

AK^2 + AN^2 = KN^2
AK^2 + (3/4 AK)^2 = (1/4 AK)^2
AK^2 + 9/16 AK^2 = 1/16 AK^2
25/16 AK^2 = 1/16 AK^2
25 AK^2 = AK^2
24 AK^2 = 0
AK = 0

Получили, что длина отрезка АК равна нулю, что невозможно. Значит, ошибка где-то в выкладках. Попробуем еще раз.

Пусть AM = x, тогда MK = 10 - x. По теореме Пифагора для треугольника AMK:

AM^2 + MK^2 = AK^2
x^2 + (10 - x)^2 = AK^2
x^2 + 100 - 20x + x^2 = AK^2
2x^2 - 20x + 100 = AK^2

По теореме Пифагора для треугольника ANK:

AN^2 + AK^2 = NK^2
20^2 + AK^2 = (1/4 AK)^2
400 + AK^2 = 1/16 AK^2
15 * AK^2 = 400

AK = sqrt(400/15) = sqrt(80/3)

Подставляем AK в первое уравнение:

2x^2 - 20x + 100 = 80/3
6x^2 - 60x + 300 = 80
6x^2 - 60x + 220 = 0
x^2 - 10x + 36.66 = 0

Решаем квадратное уравнение:

D = (-10)^2 - 4 1 36.66 = 100 - 146.64 = -46.64

Квадратного корня из отрицательного числа не существует, поэтому ошибка где-то в решении. попробуем еще раз:

Имеем

AN : AK = 3 : 1
AN : NK = 3 : 1

Так как AN + AK = 20, отсюда AK = 20 - AN.

Тогда 3/1 = AN/NK = AN/(AN+AK) = AN/(AN+(20-AN)) = AN/(20 - AN).

Отсюда 3(20 - AN) = AN, откуда AN = 15

Теперь AM = sqrt(AN^2 - (1/2) MK^2) = sqrt(15^2 - (1/2)10^2) = sqrt(225 - 50) = sqrt(175) = 5 * sqrt(7)

Ответ: AM = 5 * sqrt(7) см.