Для начала найдем длину стороны квадрата. Поскольку он вписан в окружность радиусом 4 см, то диагональ квадрата (равная диаметру окружности) равна 8 см. По теореме Пифагора, длина стороны квадрата равна диагонали деленной на sqrt(2), то есть 8/√2 = 4√2 см.

Теперь найдем длину хорды, соединяющей середины смежных сторон квадрата. Она равна стороне квадрата, то есть 4√2 см.

Длина дуги, на которую разбивает окружность хорда, равна углу, заключенному между центральными точками хорды. Для того, чтобы найти этот угол, можно воспользоваться теоремой косинусов.

Пусть A - один из центральных углов, B - другой центральный угол, х - длина хорды.

cos(A) = (2r^2 - x^2) / (2r^2),
cos(B) = (2r^2 - x^2) / (2r^2),
cos(A + B) = cos(A) cos(B) - sin(A) sin(B) = 1 - 2sin(A)sin(B)

Таким образом,cos(A + B) = (2r^2 - x^2) / (2r^2).

cos(A + B) = cos(90°) = 0, сравниваем два представления:

(2 4^2 - x^2) / (2 4^2) = 0
(32 - x^2) / 32 = 0
x^2 = 32
x = 4√2 см

Итак, дуга, на которую разбивает окружность хорда, имеет длину 4√2 см.