Сначала найдем синус угла между прямой B1C и плоскостью AA1C1.

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.

Направляющим вектором прямой B1C является вектор BC = (BC1 - B1C1) = (-3, 0, -4)

Нормальный вектор плоскости AA1C1 можно найти как векторное произведение векторов AA1 и AC1:

AA1 = (-1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (-1, 0, 0)
AC1 = (0, 1, -4) - (0, 0, 0) = (0, 1, -4)

Нормальный вектор:
N = AA1 x AC1 = i | j | k
-1 0 0
0 -1 0
= (0, 4, 1)

Теперь можно найти синус угла между векторами N и BC:

|N| = √(0^2 + 4^2 + 1^2) = √(16 + 1) = √17

|BC| = √((-3)^2 + 0^2 + (-4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5

Синус угла между векторами:
sin(θ) = (|N x BC|) / (|N||BC|) = |N| |BC sin(θ)| = 4√17 / 25

Таким образом, синус угла между прямой B1C и плоскостью AA1C1 равен 4√17 / 25.