Для решения данной задачи можно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника.

Известно, что диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, поэтому треугольник AOB и треугольник BOC будут прямоугольными.

Так как AB = √15, а ОС = 4, то можно рассмотреть треугольник AOC. Применив теорему Пифагора для него, получим:

AC² = AO² + OC²
AC² = AB² + BC²
AC² = 15 + 49
AC = √64
AC = 8

Теперь можем рассмотреть треугольники AOB и BOC. Так как у них есть общая сторона, то по теореме Пифагора для каждого из них:

OB² = OA² + AB²
OB² = 15 + x²

OC² = OB² + BC²
OC² = 15 + x² + 49
OC² = 64 + x²

Из геометрии прямоугольника известно, что OD = DO, поэтому OC = OD - DC. Подставив это в формулы получим:

(OC + DC)² = 64 + x²
(4 + x)² = 64 + x²

Решив данное уравнение, можем найти x:

(4 + x)² = 64 + x²
16 + 8x + x² = 64 + x²
8x = 48
x = 6

Теперь зная, что OB = √15 + 6, можем найти BD:

BD = √15 + 6 = √15 + √(36) = √15 + 6 = 3√15 + 6