Прежде чем рассчитать радиус вписанного шара, определим радиус окружности, вписанной в треугольник одной из граней тетраэдра.

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле:
$r = \frac{S_{\triangle}}{p}$,

где $S_{\triangle}$ - площадь треугольника, $p$ - полупериметр треугольника.

Для правильного тетраэдра с ребром 13 радиус вписанной окружности будет равен радиусу вписанного шара.

Так как правильный тетраэдр состоит из 4 правильных треугольников, а площадь одного правильного треугольника можно найти по формуле:
$S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$,

где $a$ - длина стороны трегольника.

Полупериметр треугольника равен $p = \frac{3a}{2}$.

Таким образом, радиус вписанного шара в правильном тетраэдре с ребром 13 равен:
$r = \frac{\frac{(13)^2 \sqrt{3}}{4}}{\frac{3 \cdot 13}{2}} = \frac{219 \sqrt{3}}{78} \approx 3.496$.

Итак, радиус вписанного шара в правильном тетраэдре с ребром 13 равен примерно 3.496.