Обозначим точку касания окружности со стороной $BC$ как $E$. Так как окружность касается стороны $BC$, то $BE=CE$. Обозначим $BE=CE=x$, тогда $BC=12-x$.
Также заметим, что угол $CAD$ равен углу, образованному касательной и хордой окружности, а значит $\angle CAD=x=DBE$. Из прямоугольного треугольника внутри треугольника $BDE$ следует, что $DB=DE$.
Теперь посмотрим на треугольник $BDC$. Из угла на основании мы имеем, что $\cos \angle CBD=\frac{BC}{DB}=\frac{12-x}{DE}$. Но так как $DB=DE$, то $\cos \angle CBD=\frac{12-x}{DE}=\frac{12-x}{x}$. Отсюда находим, что $x=\frac{12}{2+\sqrt{3}}=\frac{12(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=12(2-\sqrt{3)}=24-12\sqrt{3}$.
Итак, $AD=AC+CD=12+4\sqrt{3}=16$.