Вокруг трапеции описано круг. Найти радиус круга, если основания трапеции 20 см и 12 см, угол между боковой стороной трапеции и основой равен 30 градусов.
Вокруг трапеции описано круг. Найти радиус круга, если основания трапеции 20 см и 12 см, угол между боковой стороной трапеции и основой равен 30 градусов.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для решения этой задачи нам понадобится знать, что радиус описанного круга в трапеции равен половине диагонали трапеции.
Сначала найдем диагональ трапеции, соединяющую вершины:
Диагональ равна стороне трапеции, умноженной на корень из суммы квадратов отношения высот к основаниям:
d=a1+(h2−h1a)2d = a\sqrt{1 + \left(\frac{h_2 - h_1}{a}\right)^2}d=a1+(ah2 −h1 )2
По условию, трапеция с углом в 30 градусов разделена на два равнобедренных треугольника. Зная основания и угол в них, находим высоту:
h1=a⋅sin(30∘)=20⋅12=10смh_1 = a \cdot \sin(30^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 смh1 =a⋅sin(30∘)=20⋅21 =10см
h2=b⋅sin(30∘)=12⋅12=6смh_2 = b \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 смh2 =b⋅sin(30∘)=12⋅21 =6см
Теперь можем найти диагональ:
d=20⋅1+(6−1020)2=20⋅1+(−25)2=20⋅1+425=20⋅2925=20⋅295=429смd = 20 \cdot \sqrt{1 + \left(\frac{6 - 10}{20}\right)^2} = 20 \cdot \sqrt{1 + \left(-\frac{2}{5}\right)^2} = 20 \cdot \sqrt{1 + \frac{4}{25}} = 20 \cdot \sqrt{\frac{29}{25}} = 20 \cdot \frac{\sqrt{29}}{5} = 4\sqrt{29} смd=20⋅1+(206−10 )2 =20⋅1+(−52 )2 =20⋅1+254 =20⋅2529 =20⋅529 =429 см
Таким образом, радиус описанного круга равен половине диагонали:
r=d2=4292=229смr = \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{29}}{2} = 2\sqrt{29} смr=2d =2429 =229 см
Ответ: радиус круга, описанного вокруг трапеции, равен 2√29 см.