Пусть стороны прямоугольника будут a и b.

Тогда периметр прямоугольника равен 2$a+b$ = 70,
a + b = 35. $1$

Также расстояние от вершины до диагонали равно 12 см. Это означает, что в прямоугольнике образовался прямоугольный треугольник с катетами a и b, а гипотенуза равна 12.

По теореме Пифагора мы можем составить уравнение:
a^2 + b^2 = 12^2,
a^2 + b^2 = 144. $2$

Также мы знаем, что площадь прямоугольника равна S = a*b.

Теперь нам нужно решить систему уравнений $1$ и $2$.

Из уравнения $1$ найдем значение a или b:
a = 35 - b.

Подставим это значение в уравнение $2$:
$35-b$^2 + b^2 = 144,
1225 - 70b + b^2 + b^2 = 144,
2b^2 - 70b + 1081 = 0.

Решаем это квадратное уравнение, используя дискриминант:

D = $-70$^2 - 421081 = 4900 - 8656 = -3756.

Поскольку дискриминант отрицательный, у уравнения нет вещественных корней.

Это означает, что такой прямоугольник, удовлетворяющий условиям задачи, не существует и задача решения не имеет.