Пусть длина диаметра равна D, тогда отрезки делят диаметр на отрезки 4D/13 и 9D/13.

Так как окружность составляет 52π см, а ее длина равна 2πr, получаем:

2πr = 52π
r = 26

Теперь по теореме Пифагора найдем длину перпендикуляра PL:

( PL^2 + (4D/13)^2 = r^2 )

( PL^2 = r^2 - (4D/13)^2 )

( PL = \sqrt{r^2 - (4D/13)^2} )

( PL = \sqrt{26^2 - (4D/13)^2} )

( PL = \sqrt{676 - 16D^2/169} )

Так как отрезки делят диаметр на отрезки 4 : 9, то 4D/13 это 4 часть, и значит 9D/13 это 9 часть диаметра:

( PL = \sqrt{676 - (4D/13)^2} = \sqrt{676 - (D/13)^2 * 16} )

( PL = \sqrt{676 - (D/13)^2 16} = \sqrt{676 - (D/13)^2 16} )

Мы знаем, что ( 2πr = 52π, т.е. r = 26 ), подставляем это значение в формулу и получаем:

( PL = \sqrt{676 - 256} = \sqrt{420} = 2\sqrt{105} )

Ответ: длина перпендикуляра равна ( 2\sqrt{105} ) см.