Пусть длина прямоугольника равна х см, а ширина - у см. Тогда периметр прямоугольника:

2x + 2y = 70,

или

x + y = 35.

Из условия находим, что вершина прямоугольника расположена на расстоянии 12 см от диагонали. Обозначим этот отрезок за а см, а расстояние от вершины до одной из сторон прямоугольника (перпендикулярно) за b см. Тогда a + b = 12.

Также, мы знаем, что диагональ прямоугольника равна √(x^2 + y^2), и по теореме Пифагора:

x^2 + y^2 = a^2 + b^2,

или

x^2 + y^2 = 144.

Мы знаем, что x + y = 35, поэтому можно записать:

(x + y)^2 - 2xy = x^2 + 2xy + y^2 - 2xy = 144.

Отсюда следует, что x^2 + y^2 = 144 + 2xy.

Подставим x + y = 35:

144 + 2xy = 35^2,

или

xy = 325.

Таким образом, мы получаем уравнения системы:

x + y = 35,

xy = 325.

Решая эту систему, получаем x = 25 и y = 35. Значит, площадь прямоугольника равна:

S = 25 * 35 = 875 см^2.