Для начала найдем высоту призмы, проведем высоты из вершин D и D1 на плоскости основания ABCD и изобразим треугольник ADD1 и DD1B1 (основание высоты).

Так как AD = AB = BC = CD и D1A1 = A1B1 = B1C1 = C1D1, то треугольники ADD1 и CD1D1 равны по гипотенузе и катетам, т.е. ADD1 = CD1D1.

Выразим DD1 = AD - A1D1 = 4 - 3√6, так как D1A1 = 3√6 высота призмы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD1 D1. Зная катеты BD1 = 2AB и CD1, найдем гипотенузу D1C. По теореме Пифагора получаем, что D1C = √(CD1^2 + BD1^2) = √(4^2 + 6^2) = 2√13.

Высота образованного пятна h = D1DCD1 / D1C = 4 DD1 / 2√13 = 4(4 - 3√6) / 2√13 = (16 - 12√6) / 2√13 = 8 - 6√6 / √13.

Теперь найдем площадь треугольника ADB по формуле s = 0,5 a h (AD - или AB - сторона треугольника, h - высота, проведенная к стороне AD). Получаем, что s = 0,5 4 (8 - 6√6 / √13) = 2 * (8 - 6√6) / √13 = (16 - 12√6) / √13.

Таким образом, площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершину D1 и середины ребер AB и BC, равна (16 - 12√6) / √13.