Дано: треугольники ABC и A'B'C' с равными сторонами AB = A'B', BC = B'C', AC = A'C'.

Доказать: S(ABC) / S(A'B'C') = h / h',

где S(ABC) и S(A'B'C') - площади треугольников ABC и A'B'C' соответственно, h и h' - высоты этих треугольников.

Решение:

Пусть h и h' - высоты треугольников ABC и A'B'C' соответственно.

Так как треугольник ABC и треугольник A'B'C' равны по сторонам, то их высоты h и h' относятся как соответственные стороны:

h / h' = AB / A'B' = BC / B'C' = AC / A'C' (1)

Так как S = 0.5 a h, где a - основание треугольника, h - высота к этому основанию, то площадь треугольника пропорциональна его высоте:

S(ABC) / S(A'B'C') = h / h' (2)

Из (1) и (2) следует, что S(ABC) / S(A'B'C') = h / h', что и требовалось доказать.

Таким образом, если треугольники имеют равные стороны, то их площади относятся как высоты.