В треугольнике ABC угол C - прямой, CD — высота. Биссектрисы углов ABC и ACD пересекаются в точке M, а биссектрисы углов BAC и BCD — в точке N. Найдите длины отрезка MN, если AC=6, BC=8.
В треугольнике ABC угол C - прямой, CD — высота. Биссектрисы углов ABC и ACD пересекаются в точке M, а биссектрисы углов BAC и BCD — в точке N. Найдите длины отрезка MN, если AC=6, BC=8.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для начала найдем длину отрезка CD, который является высотой треугольника ABC.
Поскольку угол C прямой, то CD является медианой треугольника ABC (так как прямоугольный треугольник является равнобедренным относительно гипотенузы).
Используя теорему Пифагора, найдем длину CD:
AB = √(AC^2 + BC^2) = √(6^2 + 8^2) = √(36 + 64) = √100 = 10.
Теперь, найдем площадь треугольника ABC:
S_ABC = 0.5 AC BC = 0.5 6 8 = 24.
Так как CD является медианой треугольника ABC, то площадь треугольника ABC равна площади треугольника ACD:
S_ACD = S_ABC / 2 = 24 / 2 = 12.
Длина CD равна S_ACD 2 / AB = 12 2 / 10 = 24 / 10 = 2.4.
Теперь найдем длины отрезков AM, MC, BN и ND. Для этого воспользуемся формулой для длины биссектрисы треугольника:
BM = BC AB / (AB + AC) = 8 10 / (10 + 6) = 80 / 16 = 5.
AM = AC AB / (AB + BC) = 6 10 / (10 + 8) = 60 / 18 = 3.3333.
Теперь найдем MN:
MN = AM + BN + NC + ND = AM + BM + CM + DN = 3.3333 + 5 + 2.4 + 8 = 18.7333.
Ответ: длина отрезка MN равна 18.7333.