Для доказательства этого, нужно показать, что все четыре точки лежат на общей плоскости.

Возьмем в качестве вершины пирамиды точку D(-4;3;5).
Вектор AD можно найти как разность координат точек D и A: AD = D - A = (-4 - 1; 3 - 2; 5 - 3) = (-5;1;2).

Аналогично найдем вектор BD (-1; -1; 0), CD (-4; 2; 4).

Теперь найдем векторное произведение векторов AD и BD:
N1 = AD x BD = i j k
-5 1 2
-1 -1 0
= i(10 - 2(-1)) - j((-50) - 2(-1)) + k((-5(-1)) - 1(-1))
= i(2) - j(-2) + k(5 + 1)
= (2; 2; 6).

Теперь найдем векторное произведение векторов BD и CD:
N2 = BD x CD = i j k
-1 -1 0
-4 2 4
= i(0 - 24) - j((-14) - 0) + k((-1*2) - (-4))
= i(-8) - j(-4) + k(2)
= (-8; -4; 2).

Если векторы N1 и N2 коллинеарны (параллельны), то все точки ABCD лежат на одной плоскости, а значит, они являются вершинами пирамиды.

Для проверки коллинеарности можно найти векторное произведение векторов N1 и N2.
N1 x N2 = i j k
2 2 6
-8 -4 2
= i(-4 - 12) - j(4 - 24) + k(-4 - 16)
= i(-16) - j(-20) + k(-20)
= (-16; -20; -20).

Так как полученный вектор не равен нулевому вектору, то векторы N1 и N2 не коллинеарны, следовательно, данные точки не являются вершинами пирамиды.