Дано: отрезки ab и cd пересекаются в точке о, которая является серединой каждого из них.

а) Доказательство:

Поскольку точка о является серединой отрезков ab и cd, то она делит каждый из них пополам. То есть, OA = OB и OC = OD.

Таким образом, треугольники OAC и OBD являются равнобокими, так как у них равны стороны OA = OB и OC = OD, а также углы OAC и OBD являются вертикальными углами, так как AB и CD пересекаются. Следовательно, углы OAC и OBD равны.

Таким образом, AOC = BOD.

б) Решение:

Учитывая, что D = 72° и BD = 12 см, найдем угол C и сторону AC.

Поскольку точка о является серединой отрезка BD, то OD = 6 см.

Рассмотрим треугольник ODB. По теореме косинусов:

BD² = OD² + OB² - 2ODOB*cos(D)

12² = 6² + OB² - 26OB*cos(72°)

144 = 36 + OB² - 12OBcos(72°)

OB² = 144 - 36 + 12OBcos(72°)

OB = √(108 + 1212cos(72°))

OB ≈ 12.70 см

Теперь, поскольку OA = OB, то AC = 2*OB = 25.40 см.

Также, угол C равен 108°, так как угол D и угол C дополняющие друг друга (180° - 72° = 108°).

Итак, угол C = 108°, сторона AC ≈ 25.40 см.