Для решения этой задачи нам нужно найти длины боковых сторон четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного трапеции.

Пусть a и b - основания трапеции, а c - средняя линия. Тогда по теореме Пифагора для треугольника со сторонами a, b и 10 см длина боковой стороны четырехугольника равна √(c^2 - 5^2) см.

Также по теореме Пифагора для треугольника со сторонами a, b и 12 см длина другой боковой стороны четырехугольника равна √(c^2 - 6^2) см.

Теперь найдем длину средней линии трапеции по формуле c = (a + b) / 2. Подставив значения длин оснований, получим c = (a + b) / 2 = (10 + 12) / 2 = 11 см.

Теперь найдем длины боковых сторон четырехугольника:

√(11^2 - 5^2) = √(121 - 25) = √96 = 4√6 см.

√(11^2 - 6^2) = √(121 - 36) = √85 см.

Получили, что длины боковых сторон четырехугольника равны 4√6 см и √85 см. Теперь найдем периметр четырехугольника, сложив длины его сторон:

Периметр = 4√6 + √85 + 4√6 + √85 = 8√6 + 2√85 ≈ 38.99 см.

Ответ: Периметр четырехугольника равен примерно 38.99 см.