а) Для доказательства равнобедренности треугольника ABC нужно показать, что две стороны треугольника равны между собой. Вычислим длины сторон треугольника ABC:

AB = √[(2 - (-6))^2 + (4 - 1)^2] = √[8^2 + 3^2] = √(64 + 9) = √73

BC = √[(2 - 2)^2 + (-2 - 4)^2 ] = √[0^2 + (-6)^2] = √36 = 6

AC = √[(-6 - 2)^2 + (1 - (-2))^2] = √[(-8)^2 + 3^2] = √(64 + 9) = √73

Таким образом, AB = AC, что означает, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдем высоту треугольника, проведенную к основанию. Выберем в качестве основания сторону AB. Пусть H - точка пересечения высоты с основанием.

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки C(2;-2) и H(x;y). Коэффициент наклона прямой будет равен -1/2, так как прямая, проведенная к основанию, перпендикулярна основанию AB, у которого коэффициент наклона равен 1/2.

Уравнение прямой имеет вид y - (-2) = (-1/2)(x - 2), т.е. y = (-1/2)x + 1

Так как точка H лежит на прямой и одновременно на высоте, то она удовлетворяет уравнению прямой и уравнению прямой, проходящей через точки A и C: y = (-1/2)x + 1 и y = 1/8*x + 7/4

Решая систему уравнений, найдем координаты точки H:

(-1/2)x + 1 = 1/8x + 7/4
8(-1/2)x + 8 = x + 14
-4x + 8 = x + 14
5x = 6
x = 6/5

Подставим найденное значение x в уравнение прямой: y = (-1/2)*(6/5) + 1 = -3/5 + 1 = 2/5

Итак, координаты точки H(6/5; 2/5). Теперь найдем длину высоты, используя формулу для длины отрезка между двумя точками:

h = √[(2 - 6/5)^2 + (-2 - 2/5)^2] = √[(10/5 - 6/5)^2 + (-10/5 - 2/5)^2] = √[(4/5)^2 + (-12/5)^2] = √[16/25 + 144/25] = √(160/25) = √64 = 8

Таким образом, высота треугольника ABC, проведенная к основанию AB равна 8.