Для того чтобы показать, что четырехугольник ABCD является квадратом, нам нужно доказать две вещи:

Все стороны четырехугольника ABCD равны между собой.Углы между этими сторонами равны 90 градусов.

Для начала рассмотрим стороны четырехугольника ABCD:

Сторона AB: AB = √((4 - 0)^2 + (4 - 0)^2) = √(4^2 + 4^2) = √(16 + 16) = √32Сторона BC: BC = √((0 - 4)^2 + (8 - 4)^2) = √((-4)^2 + 4^2) = √(16 + 16) = √32Сторона CD: CD = √((-4 - 0)^2 + (4 - 8)^2) = √((-4)^2 + (-4)^2) = √(16 + 16) = √32Сторона DA: DA = √((0 + 4)^2 + (0 - 4)^2) = √(4^2 + (-4)^2) = √(16 + 16) = √32

Как мы видим, все стороны четырехугольника ABCD равны между собой (AB = BC = CD = DA = √32).

Теперь рассмотрим углы между этими сторонами:

Угол ABC = 90 градусов (так как стороны AB и BC образуют прямой угол)Угол BCD = 90 градусов (так как стороны BC и CD образуют прямой угол)Угол CDA = 90 градусов (так как стороны CD и DA образуют прямой угол)Угол DAB = 90 градусов (так как стороны DA и AB образуют прямой угол)

Таким образом, мы видим, что все стороны четырехугольника ABCD равны друг другу, а углы между ними равны 90 градусов. Следовательно, четырехугольник ABCD является квадратом.