В параллелограмме противоположные стороны равны.
Доказательство: Рассмотрим параллелограмм ABCD. Пусть AB = a, BC = b, CD = a, DA = b. Так как параллельные прямые равноудалены, то получаем, что AC = BD = c, где c - расстояние между прямыми AB и CD, а также между прямыми BC и DA. Таким образом, AB = CD = a, BC = DA = b, AC = BD = c.

В параллелограмме противоположные углы равны.
Доказательство: Пусть угол B равен углу D, а угол A равен углу C. Так как угол B равен углу D, то AB || CD, и угол B совпадает с углом C. Также, так как угол A равен углу C, то AD || BC и угол A совпадает с углом C.

В параллелограмме диагонали равны и делятся пополам.
Доказательство: Рассмотрим параллелограмм ABCD. Пусть AC и BD - диагонали параллелограмма. Так как AC = BD = c (по утверждению 1), то диагонали равны. Более того, точка пересечения диагоналей - точка пересечения медиан, значит, одновременно их середина.

Таким образом, утверждения о признаках параллелограмма доказаны.