Для нахождения объема отсеченной треугольной призмы, нам нужно найти высоту отсеченной части призмы.

Объем треугольной призмы равен:
V = (1/2) S h,
где S - площадь основания (площадь треугольника), h - высота призмы.

Так как плоскость, параллельная боковому ребру, разделяет призму на две равные части, высота отсеченной части призмы будет равна половине высоты всей призмы.

Обозначим высоту всей призмы за h_1, тогда:
V = (1/2) S h_1 = 32.

Так как плоскость проходит через середину бокового ребра, то отсеченная часть будет равнобедренным треугольником. Известно, что высота равнобедренного треугольника делит боковое ребро пополам. Таким образом, отсеченное боковое ребро равно (1/2) * h_1.

Теперь мы можем составить уравнение для объема отсеченной треугольной призмы:
V' = (1/2) (1/2) h_1 (1/2) h_1 (1/2) h_1 = (1/8) S h_1 (1/2) h_1.

Из условия задачи следует:
(1/8) 32 32 = 32,
(1/8) * 1024 = 32,
128 = 32,
h_1 = 4.

Таким образом, высота всей призмы равна 8, а высота отсеченной призмы равна 4. А объем отсеченной треугольной призмы будет равен:
V' = (1/2) S 4 = (1/2) 32 4 = 64.