Для начала найдем полупериметр треугольника ABC:

p = $AB+BC+AC$ / 2 = $8+12+10$ / 2 = 15

Теперь вычислим площадь треугольника ABC по формуле Герона:

S = √$p(p-AB)(p-BC)(p-AC)$ = √$15<em>7</em>3\ast 5$ = √1575 = 39.67

Зная площадь треугольника ABC, можем найти медиану, проведенную к стороне AC:

Медиана проведенная к стороне AC делит треугольник на два треугольника равной площади. Таким образом, S$ABM$ = S$MC$.

Получаем следующее:

S$ABM$ = 1/2 AB BM * sin$angleBAM$

S$MC$ = 1/2 MC AC * sin$angleACM$

S$ABM$ = S$MC$ = 39.67 / 2 = 19.835

Таким образом, S$ABM$ = 1/2 8 BM * sin$BAM$ = 19.835

8BM * sin$BAM$ = 39.67

BM * sin$BAM$ = 4.95875

Поскольку BM = MC, то sin$BAM$ = sin$ACM$, т.е. углы BAM и ACM смежные, и равны между собой.

Таким образом, sin$\angle BAM$ = sin$\angle ACM$ = BM / AM, где BM - медиана проведенная к стороне АС, AM - медиана проведенная к стороне ВС.

Известно, что AM = 1/2 * √$2(A{C}^2+B{C}^2)-A{B}^2$ $медианапроведеннаяксторонеВС$. Подставим все данные:

AC^2 + BC^2 = 10^2 + 12^2 = 100 + 144 = 244

2 * 244 = 488

√488 = 22.08

AM = 1/2 * 22.08 = 11.04

Sin$\angle ACM$ = BM / 11.04 = 4.95875

Sin$\angle ACM$ = 4.95875 / 11.04

Sin$\angle ACM$ = 0.4495

По таблицам найдем, при каком угле синус равен 0.4495:

sin$26$ = 0.438

sin$27$ = 0.454

Таким образом, угол ∠ACM примерно равен 27 градусов.

Теперь найдем медиану BM, подставив в формулу медианы проведенной к стороне ВС:

BM = 11.04 * sin$27$ ≈ 5.16

Итак, медиана, проведенная к стороне АС, равна приблизительно 5.16 см.