Для решения задачи нам понадобится формула для объема пирамиды:

V = (1/3) S h,

где S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Площадь основания пирамиды - площадь правильного треугольника:

S = (a^2 * sqrt(3)) / 4.

Высота пирамиды можно найти с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, расстоянием d и одной из боковых граней пирамиды:

h^2 = d^2 + (a/2)^2.

Так как боковая грань пирамиды образует угол 90 градусов с основанием, то треугольник, образованный высотой, диагональю основания и половиной стороны основания, является прямоугольным.

Таким образом, мы можем определить высоту пирамиды и подставить значения в формулу для объема:

h = sqrt(d^2 + (a/2)^2),
V = (1/3) (a^2 sqrt(3)) / 4 * sqrt(d^2 + (a/2)^2).

Это и будет искомый ответ.