1) Пусть точка касания окружности со стороной ВС обозначается как Т. Тогда можно заметить, что треугольник BAT, BTC и CTA являются прямоугольными, так как радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания.

Поэтому мы можем использовать формулу Пифагора для нахождения длин сторон треугольника:

AB = 12

AC = 10

BC = AB + AC = 12 + 10 = 22

Тогда по теореме Пифагора:

AT = √(AB^2 - r^2) = √(12^2 - r^2)

BT = √(BC^2 - r^2) = √(22^2 - r^2)

CT = √(AC^2 - r^2) = √(10^2 - r^2)

Также из условия задачи известно, что AB + BC = 2 * BT, откуда:

12 + 22 = 2 * √(22^2 - r^2)

34 = 2√(484 - r^2)

17 = √(484 - r^2)

289 = 484 - r^2

r^2 = 484 - 289

r = √195

Теперь мы можем найти BT:

BT = √(22^2 - r^2) = √(484 - 195) = √289 = 17

Итак, ВТ = 17.

2) Обозначим большую боковую сторону трапеции как Х, а меньшую - Y. Тогда из условия задачи имеем:

X - Y = 5

Y = 12

Применим формулу для радиуса вписанной окружности в трапецию:

r = (Y/2) * (X - Y) / (X + Y)

r = 6 * 5 / (X + 12)

r = 30 / (X + 12)

Также известно, что радиус окружности касается боковых сторон трапеции на расстоянии, равном половине суммы оснований:

r = (X - Y) / 2

Подставим выражения для r и Y в это уравнение:

30 / (X + 12) = (X - 12) / 2

60 = 2(X - 12)(X + 12)

60 = 2(X^2 - 144)

X^2 - 144 = 30

X^2 = 174

X = √174

Итак, большая сторона трапеции равна √174.