Для начала найдем внутренние углы четырехугольника. Поскольку один из внешних углов равен 41°, то внутренний угол этого же угла равен 180° - 41° = 139°.

Согласно условию, углы, смежные с данным внешним углом относятся как 1:3:9. Значит, внутренние углы равны 41° : 341° : 941° = 41° : 123° : 369°.

Зная, что сумма углов четырехугольника равна 360°, мы можем выразить четвертый угол через углы, уже найденные: 360° - 41° - 123° - 369° = -173°.

Таким образом, у нас есть углы: 41°, 123°, 139° и -173°. Очевидно, что угол -173° эквивалентен 360° - 173° = 187°, так как угол относительно стороны не меняется, а лишь отображается вправо или влево.

Теперь найдем длины всех сторон по формуле периметра четырехугольника: a+b+c+d = 112. Поскольку стороны неизвестны, обозначим их через а, b, c и d.

Применим теорему синусов для треугольника с углами 41°, 123° и a (чтобы найти стороны a) и для треугольника с углами 41°, 123° и b (чтобы найти стороны b). Для треугольников с другими углами, процедура аналогична.

Решив систему уравнений для каждой стороны, мы найдем значения a, b, c и d. После этого мы можем определить, какая из сторон является наибольшей.