Пусть сторона треугольника ABC равна a. Таким образом, стороны ВС равны 0,6a, так как они в 1,2 раза меньше стороны АВ.

Так как окружность, проходящая через вершины В и С, пересекает сторону АВ в точке К, а сторону AC в точке P, то треугольник ABC является описанным вокруг окружности.

Из свойства описанного окружности угол ACB равен удвоенному углу AKB, а угол ABC равен удвоенному углу AKP.

Теперь вспомним теорему косинусов для треугольника. Посмотрим на треугольник ABK.

AK^2 = AB^2 + BK^2 - 2 AB BK * cos(angle AKB)

Аналогично для треугольника AKP:

AP^2 = AC^2 + CP^2 - 2 AC CP * cos(angle ACP)

Так как AK = AP = 30:

AB^2 + BK^2 - 2 AB BK cos(angle AKB) = AC^2 + CP^2 - 2 AC CP cos(angle ACP)

Так как AB = a и AC = a, и BC = 0,6a:

a^2 + BK^2 - 2 a BK cos(angle AKB) = a^2 + CP^2 - 2 a CP cos(angle ACP)

BK^2 - 2 a BK cos(angle AKB) = CP^2 - 2 a CP cos(angle ACP)

Теперь, так как углы ACB и AKB равны, а углы ABC и AKP равны, cos(angle AKB) = cos(angle ACP).

Таким образом, BK^2 = CP^2.

Тогда BK = CP.

Так как треугольник BKC является равнобедренным, то угол BCK равен углу CBK. Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным.

Пусть BC = 0,6a.

Тогда BC = 6 и AB = AC = 10

Из Пифагоровой теоремы для равнобедренного треугольника, BK = CK = р = 8.

Таким образом, отрезок КR = 2 * CK = 16.