Задание:

Даны векторы a(1, 2, -3) и b(4, -1, 2). Найдите вектор c, равный сумме векторов a и b.Найдите скалярное произведение векторов a и b.Найдите векторное произведение векторов a и b.Найдите угол между векторами a и b.Даны точки A(1, 2, 3), B(4, 5, 6) и C(7, 8, 9). Найдите векторы AB, BC и AC.Проверьте, являются ли векторы AB и BC коллинеарными.Найдите объем параллелепипеда, образованного векторами a, b и c.

Решение:

Вектор c = a + b = (1+4, 2+(-1), -3+2) = (5, 1, -1)Скалярное произведение a и b: a b = 14 + 2(-1) + (-3)2 = 4 - 2 - 6 = -4Векторное произведение a и b: a x b = (2-2 - (-3)(-1), (-3)4 - 11, 11 - 24) = (-4 + 3, -12 - 1, 1 - 8) = (-1, -13, -7)Угол между векторами a и b: cos(θ) = (a b) / (|a||b|) = (-4) / (sqrt(1^2 + 2^2 + (-3)^2) sqrt(4^2 + (-1)^2 + 2^2)) = -4 / (sqrt(14) sqrt(21)) ≈ -0.468, θ ≈ 118.58 градусовВектор AB = B - A = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3)
Вектор BC = C - B = (7-4, 8-5, 9-6) = (3, 3, 3)
Вектор AC = C - A = (7-1, 8-2, 9-3) = (6, 6, 6)Векторы AB и BC коллинеарны, так как их координаты пропорциональны (отличаются только знаком).Объем параллелепипеда: V = |a x b c| = |(-1, -13, -7) (5, 1, -1)| = |5-(-13) - 7| = 25

Таким образом, выполнены все задания по геометрии с использованием векторов.