Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника:

(a^2 + b^2 = c^2),

где a и b - катеты, c - гипотенуза.

Из условия задачи известно, что гипотенуза (c = 31.2) см, а высота, проведенная к гипотенузе, равна (h = 15.6) см.

Так как треугольник равнобедренный, то катеты равны друг другу. Обозначим длину катета как x.

Теперь составим уравнение, используя подобие треугольников:

(\frac{x}{15.6} = \frac{15.6}{31.2} ),

(x = 15.6 \cdot \frac{15.6}{31.2} ),

(x = 7.8 ) см.

Таким образом, длина катета равна 7.8 см.