Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c. Тогда площадь треугольника S = (ab)/2, а периметр P = a + b + c.

Из условия известно, что S = 11 и P = 22.

Так как S = (ab)/2 = 11, то ab = 22.

Также известно, что справедливо соотношение Пифагора: c^2 = a^2 + b^2.

Так как ab = 22, то можно представить уравнение для c^2 в виде: c^2 = (22/a)^2, откуда c = 22/a.

Составим уравнение для периметра треугольника: P = a + b + c = a + b + 22/a = 22.

Теперь найдем значение длины высоты треугольника, проведенной к гипотенузе. Высота треугольника, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два подобных треугольника с катетами, равными a и b, и с гипотенузой, равной c.

Если h - длина высоты к гипотенузе, то (h/a) = (b/c) и (h/b) = (a/c).

Таким образом, (h^2) = (ab/c).

Исходя из этого, найдем h: h = √[ab/c] = √(22 * c/c) = √22.

Итак, длина высоты треугольника, проведенной к гипотенузе, равна √22.