Пусть катеты треугольника равны a и b. Тогда a^2 + b^2 = 6^2 = 36 (по теореме Пифагора).

Площадь треугольника можно выразить двумя способами:
1) S = (a b) / 2
2) S = p r, где p - полупериметр треугольника, r - радиус вписанной окружности.

Мы знаем, что p = (a + b + 6) / 2.
Также известно, что r = 1.

Подставим данные в формулу площади S = p r и получим:
S = ((a + b + 6) / 2) 1
S = (a + b + 6) / 2

С другой стороны, можем выразить p через a и b:
p = a + b + 6

Таким образом, S = (p / 2)^2 = (a + b + 6 / 2)^2 = (a + b + 3)^2.

Также из уравнения a^2 + b^2 = 36 следует, что (a + b)^2 - 2 a b = 36.
Из этого уравнения выразим a b:
a b = ((a + b)^2 - 36) / 2
a b = ((a + b + 3)^2 - 9 - 36) / 2
a b = ((a + b + 3)^2 - 45) / 2

Таким образом, S = (a + b + 3)^2 = (36 + 45) = 81.

Ответ: Площадь треугольника равна 81.