Пусть катеты треугольника равны x и 1.25x, а гипотенуза равна d. Тогда мы знаем, что высота, опущенная на гипотенузу, равна ( \sqrt{10} ).

Сначала найдем гипотенузу треугольника d:

( d^2 = x^2 + (1.25x)^2 ) (по теореме Пифагора)

( d^2 = 2.5625x^2 )

( d = \sqrt{2.5625}x = 1.6x )

Теперь используем формулу для площади треугольника:

( S = \frac{0.5x1.25x}{2} = \frac{x^2}{4} = \frac{d*\sqrt{10}}{2} )

Подставляем значение d:

( \frac{1.6x\sqrt{10}}{2} = \frac{1.6\sqrt{10}}{2}x )

Таким образом, площадь треугольника равна ( 1.6*\sqrt{10} ).