Задача: В треугольнике ABC проведены биссектриса, медиана и опущенный перпендикуляр из вершины A. Доказать, что периметр треугольника, образованного этими отрезками, равен полупериметру исходного треугольника ABC.

Решение: Обозначим точку пересечения биссектрисы и медианы как точку D, а точку пересечения биссектрисы и опущенного перпендикуляра как точку E.

Поскольку точка D является точкой пересечения биссектрисы и медианы, то она делит сторону в отношении, равном отношению прилежащих к ней сторон треугольника (BD/DC = AB/AC). Следовательно, треугольники ADB и ADC подобны.

Таким же образом, так как точка E является точкой пересечения биссектрисы и опущенного перпендикуляра, то треугольники AEB и AEC также подобны.

Из подобия треугольников можно сделать вывод, что DE является биссектрисой угла ADC (поскольку он делит угол на две равные части) и медианой треугольника AEC (поскольку он делит сторону пополам).

Теперь, обратим внимание на треугольник ADE. Он подобен треугольнику ABC (из подобия треугольников AEB и AEC). Аналогично, можно доказать, что треугольник BDE также подобен треугольнику ABC.

Итак, имеем, что периметр треугольника ABC равен сумме периметров треугольников ADE и BDE. Но поскольку треугольники ADE и BDE подобны треугольнику ABC, то их периметры будут равны половине периметра треугольника ABC.

Таким образом, периметр треугольника, образованного биссектрисой, медианой и опущенным перпендикуляром, равен полупериметру исходного треугольника ABC.