Для начала найдем длины сторон треугольника ABC. Так как угол BAC равен 30 градусам, то треугольник ABC является прямоугольным. Так как AH - высота треугольника ABC, то AH - медиана и медиана делит сторону прямоугольного треугольника пополам, следовательно AB = AC.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то можно воспользоваться тригонометрическими функциями:

sin(30 градусов) = AH / AC = 1 / 2, следовательно AH = AC / 2. Также можно воспользовать теорему Пифагора:

AB^2 + AC^2 = BC^2, следовательно AB^2 + AC^2 = 49, AB = AC и так как мы знаем, что AC = 2AH, то мы можем переписать уравнение на AC как:

(2AH)^2 + (2AH)^2 = 49, что приводит нас к 8AH^2 = 49, AH = √(49 / 8) = √(49) / √(8) = 7 / 2

Теперь мы можем найти площадь треугольника ABC:

S_ABC = (AC BC) / 2 = (14 7) / 2 = 49

Также, трианголи ABH, BCH и CAH подобны триугольнику ABC, а значит и их площади равны друг другу. А площадь треугольника можно найти по формуле s = abc / 4R, где a, b, c - стороны треугольника, а R - радиус описанной окружности.

Обозначим R1, R2 и R3 радиусы описанных окружностей треугольников ABH, BCH и CAH соответственно.

Тогда s_ABH = s_BCH = s_CAH = 49/3 = (AB AH BH) / (4R1), следовательно R1 = (AB AH) / (4 (49/3)) = 2 AB AH / 49 = 14 / 49 = 2/7

Сумма радиусов описанных окружностей равна R1 + R2 + R3 = 2/7 + 2/7 + 2/7 = 6/7.