Поскольку окружность вписана в угол и касается его сторон, она является вписанной окружностью треугольника АВС. Также известно, что ВС = 2.

Построим биссектрису угла А треугольника АВС, а также проведем высоту из вершины А к стороне ВС. Пусть точка пересечения биссектрисы и высоты обозначается как о.

Так как биссектриса является высотой, треугольник ВАо будет равнобедренным, а значит ∠ВА = ∠СА = 30°. Также треугольники ВАо и ВСо подобны, поэтому:

ВА/ВС = Ао/Со
ВА/2 = o/1
o = 2o

Теперь рассмотрим треугольник ACS и применим теорему синусов:

AC/sin(30) = 2/sin(60)
AC/(1/2) = 2/(√3/2)
AC = 2√3

Теперь можем найти BC через высоту треугольника ABC:

BC^2 = AC^2 - AB^2
BC^2 = (2√3)^2 - 2^2
BC^2 = 12 - 4
BC^2 = 8
BC = √8 = 2√2

Так как треугольник АВС равнобедренный, то периметр равен 2√2 + 2√3 + 2 = 2(1 + √2 + √3) ≈ 9,73.

Итак, периметр треугольника АВС равен примерно 9,73.