Для начала найдем векторы серединных отрезков:

Мы знаем, что векторы, соединяющие середины противоположных ребер параллелепипеда, равны и имеют направление параллельное ребру. Таким образом:

AE = 1/2 AB
BF = 1/2 BC
CG = 1/2 CD
DH = 1/2 DA
A1B1 = 1/2 AA1
B1C1 = 1/2 BB1
C1D1 = 1/2 CC1
D1A = 1/2 DD1

Теперь найдем векторы, исходящие из точек E, F, G, H, K, L, M, N:

BD1 = BE + ED1
BD1 = BE + (-DH)
BD1 = BE - DH

Но вектор BE = BF, и вектор DH = CG, так как BE и DH соединяют середины отрезков и сонаправлены ребру BD1.

Таким образом:

BD1 = BF - CG

Теперь подставим векторы для BF и CG:

BD1 = (1/2 BC) - (1/2 CD)

Сократим выражение:

BD1 = 1/2 (BC - CD)

Теперь выразим вектор BD1 через векторы C1M, C1K, C1F:

BD1 = 1/2 (C1M + MK + KF + FC1 - C1K - KC1)

BD1 = 1/2 (C1M + FC1 + MK - C1K)

Таким образом, вектор BD1 может быть выражен через векторы C1M, C1K, C1F следующим образом:

BD1 = 1/2 (C1M + FC1 + MK - C1K)