Пусть сторона основания квадрата равна а, тогда по теореме Пифагора диагональ равна d = √(а^2 + а^2) = √2а.

Так как одно из боковых рёбер перпендикулярно к плоскости основания, то получаем, что боковое ребро является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами а и h, где h - высота пирамиды.

Таким образом, имеем развернутый прямоугольный треугольник со сторонами а, h и 13 (наибольшее боковое ребро). Из условия задачи получаем, что 13^2 = а^2 + h^2.

Также, объем пирамиды можно выразить как V = (1/3) S h, где S - площадь основания пирамиды.

Так как сторона основания квадрата равна а, то S = а^2.

Запишем найденные уравнения:
13^2 = а^2 + h^2
S = а^2
V = (1/3) S h

Теперь можем найти объем пирамиды:
13^2 = а^2 + h^2
169 = а^2 + h^2
h^2 = 169 - а^2

V = (1/3) S h
V = (1/3) а^2 h
V = (1/3) а^2 √(169 - а^2)

Таким образом, объем пирамиды можно выразить как V = (1/3) а^2 √(169 - а^2), где а - сторона основания квадрата.