Для решения данной задачи воспользуемся формулой площади треугольника через длины сторон и биссектрису угла:
S = 2 p r,
где p - полупериметр треугольника, r - радиус вписанной в треугольник окружности.

Известно, что длины сторон треугольника равны 4 и 5, а длина биссектрисы равна 20/9.
Обозначим длину третьей стороны треугольника как c.

Так как биссектриса является медианой, то она делит третью сторону треугольника на отрезки в пропорциях смежных сторон:
c/4 = 5/5,
c = 4 * 5 / 5 = 4.

Теперь можем найти полупериметр треугольника:
p = (4 + 5 + 4) / 2 = 13 / 2 = 6.5.

Также находим радиус вписанной окружности:
r = S / p = (20/9) / 6.5 = 20 / (9 * 6.5) = 40 / 117.

Теперь можем найти площадь треугольника:
S = 2 p r = 2 6.5 (40 / 117) = 1040 / 117 = 40 / 117.
А значит, площадь этого треугольника равна 40 / 117.