Доказательство:

Обозначим точку пересечения диагоналей трапеции как O. Так как точка Е - середина стороны АВ, то отрезок EO - медиана треугольника ЕСД.

Из свойства медианы треугольника известно, что она делит треугольник на два треугольника равной площади. Таким образом, треугольники ЕОС и ЕОD имеют равные площади.

Также известно, что площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними. Поэтому S(треугольника ЕСД) = 0,5 EO CD sin(∠EOD) и S(трапеции АВСД) = 0,5 (AB + CD) * h, где h - высота трапеции.

Так как AB = 2 EO (так как Е - середина стороны АВ), то S(треугольника ЕСД) = 0,5 EO CD sin(∠EOD) = 0,5 2 EO CD sin(∠EOD) = EO CD sin(∠EOD) = 0,5 (AB + CD) h = S(трапеции АВСД).

Таким образом, мы доказали, что площадь треугольника ЕСД равна половине площади трапеции АВСД.