Пусть меньшая сторона треугольника равна 12, тогда расстояние от центра окружности до этой стороны (высота треугольника) можно найти используя формулу для площади треугольника:

S = 0.5 a h, где S - площадь треугольника, a - основание, h - высота.

Площадь треугольника можно также выразить через радиус описанной около треугольника окружности R:

S = (a b c) / (4R), где a, b, c - стороны треугольника.

Следовательно:

0.5 12 h = (12 b c) / (4R).

Так как стороны треугольника делят окружность на дуги длин 6, 7 и 23, то периметр треугольника равен 6 + 7 + 23 = 36:

a + b + c = 36.

Также, с учётом формулы площади через радиус описанной около треугольника окружности:

36h = 12 * 36 / (4R).

Отсюда следует, что h = 12 / (4R).

Теперь можно решить систему уравнений:

0.5 12 (12 / (4R)) = 12 * 36 / (4R).

6 12 / R = 12 36 / (4R).

72 / R = 108 / R.

72 = 108.

Это уравнение не имеет решения, так как приводит к противоречию. Вероятно, данное условие требует дополнительных уточнений или было задано некорректно.